Conduction thermique

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La conduction thermique (ou diffusion thermique) est un mode de phénomène de transfert thermique provoqué par une différence de température entre deux régions d'un même milieu, ou entre deux milieux en contact, et se réalisant sans déplacement global de matière^[1] par opposition à la convection qui est un autre transfert thermique. Elle peut s'interpréter comme la transmission de proche en proche de l'agitation thermique : un atome (ou une molécule) cède une partie de son énergie cinétique à l'atome voisin.

La conduction thermique est un phénomène de transport de l'énergie interne dû à une inhomogénéité de l'agitation moléculaire^[2]. C'est donc un phénomène irréversible. Dans les fluides (liquides et gaz) ce transport d'énergie résulte de la non uniformité du nombre de chocs par unité de volume, de façon analogue au phénomène de diffusion^[2]. Dans les solides, la conduction thermique est assurée conjointement par les électrons de conduction et les vibrations du réseau cristallin (phonons)^[3].

Sommaire

1 Généralités
- 1.1 Loi de Fourier
- 1.2 Équation de la chaleur
2 Conduction en régime stationnaire
3 Conduction en régime dynamique
4 Notes et références
- 4.1 Sources
- 4.2 Notes
5 Voir aussi

Généralités

Loi de Fourier

La conduction thermique est un transfert thermique spontané d'une région de température élevée vers une région de température plus basse, et obéit à la loi dite de Fourier établie mathématiquement par Jean-Baptiste Biot en 1804 puis expérimentalement par Fourier en 1822^[4] : la densité de flux de chaleur est proportionnelle au gradient de température.

$\overrightarrow{\varphi}= - \lambda\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}(T)$

La constante de proportionnalité λ est nommée conductivité thermique du matériau. Elle est toujours positive. Avec les unités du système international, la conductivité thermique λ s'exprime en J.m^-1.K^-1.s^-1 ou, soit des W.m^-1.K^-1.

La loi de Fourier est une loi semi-empirique analogue à la loi de Fick pour la diffusion de particule ou la loi d'Ohm pour la conduction électrique. Ces trois lois peuvent s'interpréter de la même façon : l'inhomogénéité d'un paramètre intensif (température, nombre de particules par unité de volume, potentiel électrique) provoque un phénomène de transport tendant à combler le déséquilibre (flux thermique, courant de diffusion, courant électrique).

Complément

Nous pouvons exprimer le transfert thermique selon Ox pendant un temps dt. On suppose que la quantité de chaleur traversant une surface d'aire dS_x est proportionnelle à dS_x, au temps de transfert dt et au taux de variation de la température T :

$dQ_x= - \lambda_x\ \frac{\delta T}{\delta x} dS_x dt\,$

Le flux thermique à travers la surface élémentaire dS_x est alors :

$d\Phi_x= \frac{dQ_x}{dt}= - \lambda_x \frac{\delta T}{\delta x} dS_x\,$

Nous pouvons en déduire la densité de flux dans la direction Ox :

$\varphi_x = \frac{d \Phi}{d S_x}\,$

$\varphi_x = - \lambda \frac{\delta T}{\delta x}\,$

Le même raisonnement dans chacune des directions d'espace donne la loi de Fourier.

Pour les définitions précises de flux et densité de flux voir l'article transfert thermique

Équation de la chaleur

Article détaillé : Équation de la chaleur.

Un bilan d'énergie, et l'expression de la loi de Fourier conduit à l'équation générale de conduction de la chaleur dans un corps homogène :

$\lambda \Delta T + P = \rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t}$

où :

$Δ T$ désigne le laplacien de la température,
P est l'énergie produite au sein même du matériau en W.m^-3. Elle est souvent nulle (cas des dépôts de chaleur en surface de murs, par exemple), mais l'on peut citer de nombreux cas où elle ne l'est pas ; citons parmi d'autres l'étude du transfert thermique par conduction au sein du combustible nucléaire, ou l'absorption de la lumière ou des micro-ondes au sein des matériaux semi-transparents ...,
ρ est la masse volumique du matériau en kg.m^-3,
et c est la chaleur spécifique massique du matériau en J.kg^-1.K^-1.

(établissement de l'équation de conduction de la chaleur)

Sous forme unidimensionnelle et au cas où P est nulle, on obtient :

$\lambda\, \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t}$

En régime stationnaire, lorsque la température n'évolue plus avec le temps et si P est nul, elle se réduit à :

Δ T = 0

qui est une équation de Laplace. T est alors une fonction harmonique.

Dans le cas unidimensionnel, l'équation précédente se réduit à :

$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$

dont la solution est :

T = A x + B

où A et B sont des constantes à fixer selon les conditions aux limites.

Conduction en régime stationnaire

Surface plane simple

Le matériau est un milieu conducteur thermiquement limité par deux plans parallèles (cas d'un mur). Chaque plan à une température T homogène sur toute sa surface. On considère que les plans ont des dimensions infinies pour s'affranchir des effets de bords. En conséquence le flux entrant est égal au flux sortant, il n'y a pas de pertes de chaleur sur les bords.

Profil de température dans un mur

Notons $T 1$ la température du plan situé à l'abscisse $x 1$ , et $T 2$ la température du plan situé à l'abscisse $x 2$ . Notons $e = x 2 - x 1$ l'épaisseur du mur. En régime stationnaire, T est une fonction affine de $x$ , d'où :

$T = T_1 + \frac{x-x_1}{e}(T_2 - T_1)$

La densité de flux thermique surfacique s'écrit :

$\varphi= -\lambda \frac{dT}{dx} = \frac{\lambda}{e} (T_1-T_2)$ .

Le flux thermique à travers une surface S vaut :

$\Phi = \frac{\lambda S}{e} (T_1-T_2)\,$

Analogie électrique

Par analogie avec l'électricité (loi d'Ohm) dans le cas particulier où la surface de contact entre chaque matériau est constante (flux surfacique $\varphi$ constant) nous pouvons mettre en parallèle les deux expressions :

$U_1-U_2= RI\,$

$T_1-T_2= \frac{e}{\lambda S} \Phi\,$

Nous pouvons mettre en parallèle d'une part la tension et la température, d'autre part l'intensité et le flux thermique :

$U_1-U_2 \leftrightarrow T_1-T_2,$

$I \leftrightarrow \Phi,$

On peut définir alors une résistance thermique, jouant dans le transfert de chaleur un rôle comparable à la résistance électrique.

$R \leftrightarrow R_{thc}= \frac{e}{\lambda S}\,$

où $S$ est la surface du matériaux et $e$ son épaisseur. La résistance thermique $R t h c$ est homogène à des K.W^-1

Surfaces planes en série

On considère des matériaux A B et C d'épaisseur respective $e A$ , $e B$ et $e C$ et de conductivité radiative respective $λ A$ , $λ B$ et $λ C$ .

Les hypothèses sont identiques à celles d'une surface plane simple. On considère que le contact entre chaque couche est parfait ce qui signifie que la température à l'interface entre 2 matériaux est identique dans chaque matériau (Pas de saut de température au passage d'une interface).

Enfin la surface de contact entre chaque matériau est constante ce qui implique un flux surfacique $\varphi$ constant.

Les résistances thermiques s'additionnent :

$T_1- T_4= (\frac{e_A}{\lambda_A S}+ \frac{e_B}{\lambda_B S}+ \frac{e_C}{\lambda_C S}) \Phi\ = (R_{thA}+ R_{thB}+ R_{thC}) \Phi$

Démonstration

Globalement, nous avons

$T_1- T_4= \frac{e}{\lambda S} \Phi\,$

Si l'on décompose

Pour la couche A : $T_1- T_2= \frac{e_A}{\lambda_A S} \Phi\,$

pour la couche B : $T_2- T_3= \frac{e_B}{\lambda_B S} \Phi\,$

pour la couche C : $T_3- T_4= \frac{e_C}{\lambda_C S} \Phi\,$

Nota : Compte tenu des hypothèses, le flux (ou la densité de flux reste constant).

Avec :

$T_1- T_4= (T_1-T_2)+(T_2-T_3)+(T_3-T_4)\,$

Donc

$T_1- T_4= (\frac{e_A}{\lambda_A S}+ \frac{e_B}{\lambda_B S}+ \frac{e_C}{\lambda_C S}) \Phi\,$

$T_1- T_4= (R_{thA}+ R_{thB}+ R_{thC}) \Phi\,$

Le profil des températures
Pour chaque matériau la variation de température suit une loi du type :

$T= T_1- \frac{e_X}{\lambda_X S}\Phi\,$

La variation de température est donc linéaire dans l'épaisseur du matériau considéré. La pente dépend de λ (conductivité thermique) caractéristique de chaque matériau. Plus la conductivité thermique sera faible (donc plus le matériau sera isolant) plus la pente sera forte.

Analogie électrique
De la même manière que les résistances électriques en série s'additionnent, les résistances thermiques en série s'additionnent.

Surfaces planes en parallèle

On considère des matériaux plans juxtaposés côte à côte. Chaque matériau est homogène et limité par deux plans parallèles. C'est par exemple le cas d'un mur avec une fenêtre. Les hypothèses sont identiques à celles d'une surface plane simple. En supplément, on considère que la température est uniforme en surface de chaque élément (T₁ et T₂). Soit S_A, S_B et S_C les surfaces respectives des éléments A, B et C.

Par la suite, on fait l'hypothèse que le flux est toujours perpendiculaire à la paroi composée ; ceci n'est pas réaliste puisque la température de surface de chaque élément qui la composent est différente et qu'il existe par conséquent un gradient de température latéral (à l'origine des ponts thermiques). Aussi, il est nécessaire de corriger le flux de chaleur calculé dans la paroi composée à l'aide de coefficients de déperdition linéiques, spécifiques à chaque jonction de paroi (et pouvant être négligeables, cf. règlementation thermique TH 2000)

Les conductances thermiques s'additionnent :

$C_{th}= \frac{1}{R_{th}} = \frac{1}{\frac{e_A}{\lambda_A S_A}}+\frac{1}{\frac{e_B}{\lambda_B S_B}}+\frac{1}{\frac{e_C}{\lambda_C S_C}} = \frac{1}{R_{thA}} + \frac{1}{R_{thB}} + \frac{1}{R_{thC}}$

Démonstration

Pour chaque élément, le flux s'exprime suivant la relation

$T_1- T_2= \frac{e_X}{\lambda_X S} \Phi\,$

Avec en prenant l'analogie électrique

$R_X= \frac{e_X}{\lambda_X S_X}\,$

où $X$ est égale à $A$ , $B$ ou $C$ Nous avons donc

$\Phi_A= \frac{T_1- T_2}{R_A}\,$

$\Phi_B= \frac{T_1- T_2}{R_B}\,$

$\Phi_C= \frac{T_1- T_2}{R_C}\,$

Le flux total est égale à la somme des flux dans chaque élément

$\Phi= \Phi_A+ \Phi_B+ \Phi_C\,$

$\Phi= (T_1- T_2) (\frac{1}{R_A}+ \frac{1}{R_B}+ \frac{1}{R_C})\,$

Soit S la surface totale

$S= S_A+ S_B+ S_C\,$

Le flux surfacique s'écrit alors

$\varphi=\frac{\Phi}{S}\,$

Toujours par analogie avec les lois électriques, l'inverse de la résistance thermique est parfois appelé conductance thermique.

$C_{th}= \frac{1}{R_{th}} = \frac{1}{\frac{e_A}{\lambda_A S_A}}+\frac{1}{\frac{e_B}{\lambda_B S_B}}+\frac{1}{\frac{e_C}{\lambda_C S_C}} = \frac{1}{R_{thA}} + \frac{1}{R_{thB}} + \frac{1}{R_{thC}}$

Analogie électrique
Il est donc également possible de faire une analogie entre un montage électrique de résistances en parallèle.


$I = (\frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2}+ \frac{1}{R_3}) \Delta U\,$	$\Phi = (\frac{1}{R_{th1}}+ \frac{1}{R_{th2}}+ \frac{1}{R_{th3}}) \Delta T\,$

Surface cylindrique simple

Le tube simple est constitué d'un seul matériau homogène. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur infinie afin de s'affranchir des effets de bord.

La variation de température s'écrit :

$\ T_1-T_2= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda L } \ln \frac{R_2}{R_1}$

Démonstration

Si l'on considère une variation dR à l'intérieur du matériau constituant le tube, la loi de Fourier s'exprime alors :

$\Rightarrow \Phi= - \lambda S \frac{dT}{dR}\,$

Variation de la température dans l'épaisseur du tube

Évolution de la température dans l'épaisseur d'un tube simple avec T_intérieure>T_extérieure

Soit S la surface d'un cylindre :

$S= 2 \pi R L\,$

Nous pouvons écrire la loi de Fourier sous la forme :

$\Phi= - \lambda 2 \pi R L \frac{dT}{dR}\,$

$\frac{dR}{R}= - \frac{2 \pi \lambda L dT}{\Phi}\,$

$\int_{R_1}^{R_2} \frac{dR}{R}= - \frac{2 \pi \lambda L }{\Phi} \int_{T_1}^{T} dT\,$

$\ln \frac{R_2}{R_1}= \frac{2 \pi \lambda L }{\Phi} (T_1-T)\,$

La variation de température dans le matériau est donc

$\ T= T_1 - \frac{\Phi}{2 \pi \lambda L } \ln \frac{R_2}{R_1}\,$

Sur la totalité de l'épaisseur du tube, la variation est

$\ T_1-T_2= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda L } \ln \frac{R_2}{R_1}\,$

Surfaces cylindriques concentriques

Schéma d'un tube concentrique

Le tube concentrique est constitué de tubes disposés en couches concentriques. On considère que le contact est parfait entre les tubes. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur L infinie afin de s'affranchir des effets de bord.

La résistance totale du tube s'exprime suivant une loi de type « série » comme le mur composé série :

$\ R_{thT}= R_{thA} + R_{thB}$

Démonstration

Évolution de la température dans la première couche :

$\ T_1-T_2= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda_A L } \ln \frac{R_2}{R_1}\,$

Évolution de la température dans la deuxième couche :

$\ T_2-T_3= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda_B L } \ln \frac{R_3}{R_2}\,$

Sur la totalité de l'épaisseur du tube :

$\ T_1-T_3= \frac{\Phi}{2 \pi L } \left ( \frac {\ln \frac {R_2}{R_1} }{\lambda_A} + \frac {\ln \frac {R_3}{R_2} }{\lambda_B}\right )\,$

La résistance thermique de la couche A

$\ R_{thA}= \frac {\ln \frac {R_2}{R_1} }{\lambda_A}\,$

La résistance thermique de la couche B

$\ R_{thB}= \frac {\ln \frac {R_3}{R_2} }{\lambda_B}\,$

La résistance totale du tube s'exprime suivant une loi de type « série » comme le mur composé série :

$\ R_{thT}= R_{thA} + R_{thB}\,$

Conduction en régime dynamique

La résolution de l'équation de la chaleur en régime dynamique est beaucoup plus délicate. Elle fait appel aux notions de transformées de Fourier, de produit de convolution et de distributions. Nous donnons quelques exemples de résolution.

Cas d'un domaine illimité

Principe général

Ecrivons l'équation de la chaleur sous la forme :

$\frac{\partial T}{\partial t} - D \Delta T = P$

où D est le coefficient de diffusivité thermique et P représente des sources de chaleur. P peut être une fonction du temps et de la position de la source de chaleur, mais aussi une distribution. Par exemple, l'injection instantanée et ponctuelle d'une quantité de chaleur peut se représenter par le produit $δ(t)δ(x)$ d'une distribution de Dirac à l'instant t = 0 par une distribution de Dirac en x = 0, x étant l'abscisse dans le cas d'un problème unidimensionnel ou le vecteur position dans le cas général.

On se donne également l'état initial du domaine $T 0 = T (0, x)$ , qui peut être également une fonction de x ou une distribution. On considère que T est nulle pour $t < 0$ .

La méthode de résolution consiste à^[5] ^[6] :

Appliquer une transformée de Fourier relative à la variable x, à tous les termes de l'équation différentielle. Cela transforme la dérivation par rapport à x par un produit. Si on prend $F(T)(p, t) = \int T(x, t) \exp(-2i\pi px) dx$ , alors l'équation devient :

$\frac{\partial F(T)}{\partial t} + D 4\pi^2p^2F(T) = F(P)$

où plutôt, au sens des distributions :

$\frac{\partial F(T)}{\partial t} + D 4\pi^2p^2F(T) = F(P) + F(T_0)\delta(t)$

pour tenir compte de la condition initiale.

Reconnaître dans cette équation un produit de convolution :

$(\frac{\partial \delta(t)}{\partial t} + 4\pi^2Dp^2 \delta(t)) * F(T) = F(P) + F(T_0)\delta(t)$

L'opérateur qu'on applique à F est un produit de convolution relatif à la variable t.

Appliquer la réciproque de l'opérateur dont on montre qu'il vaut $H (t)exp( - 4π 2 D p 2 t)$ , où H est la fonction de Heaviside, pour aboutir à :

F (T) = F (P) * H (t)exp( - 4π 2 D p 2 t) + F (T 0) H (t)exp( - 4π 2 D p 2 t)

Si F(P) est une fonction et non une distribution, cette relation devient, pour t > 0 :

$F(T) = \int_0^t F(P)(\tau)\exp(- 4\pi^2Dp^2(t-\tau)) d\tau + F(T_0)exp(- 4\pi^2Dp^2t)$

Prendre la transformée de Fourier inverse pour en déduire T.

Cas particulier

Propagation par conduction dans le plan à partir d'un point chaud. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point

Si on prend $T 0 = 0$ et $P = δ(t)δ(x)$ (injection instantanée de chaleur en un point donné), la méthode décrite ci-dessus conduit à :

F (P) = δ(t)

donc, pour t > 0 :

F (T) = exp( - 4π 2 D p 2 t)

dont la transformée de Fourier inverse est, pour t > 0 :

$T = \frac{\exp(- \frac{x^2}{4Dt})}{2\sqrt{\pi tD}}$ dans le cas unidimensionnel.

$T = \frac{\exp(- \frac{r^2}{4Dt})}{8\sqrt{\pi tD}^3}$ dans le cas tridimensionnel.

Domaine illimité sans source de chaleur

Si on se donne seulement la température initiale $T 0$ du milieu sans source de chaleur (P = 0), alors on trouve que :

$T = \frac{1}{2\sqrt{\pi tD}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(- \frac{(x - u)^2}{4tD}) T_0(u)\, du$ dans le cas unidimensionnel.

$T = \frac{1}{8\sqrt{\pi tD}^3} \int_{\mathbb R^3} \exp(- \frac{(r - s)^2}{4tD}) T_0(r)\, dx_s dy_s dz_s$ dans le cas tridimensionnel.

Cas de domaines limités, sans source de chaleur

Cas d'un domaine limité par un plan. Le problème de Kelvin

Problème de Kelvin. L'axe des x est orienté vers la droite. Le demi-espace x>0, dont la température initiale est T₀, possède une frontière x=0 dont la température est constamment nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point

Supposons le domaine limité par le plan x=0. Si on se donne pour condition aux limites supplémentaire T(0,t) = 0 pour tout t, alors, il suffit de prolonger la répartition initiale de température $T 0$ par une fonction impaire en x et d'appliquer le résultat précédent.

Le cas le plus célèbre est celui du problème de Kelvin. Ce dernier a considéré dans les années 1860 que la Terre était initialement à une température constante $T 0$ de l'ordre de 3000° et qu'elle s'est refroidie par simple conduction. Utilisant la valeur actuelle du gradient de température en fonction de la profondeur, il en a déduit une estimation de l'âge de la Terre. On peut appliquer la méthode de résolution précédente en considérant la Terre comme plate et infiniment profonde, limitée par le plan de sa surface. Le calcul conduit à :

$T= \frac{T_0}{\sqrt{\pi t D}} \int_0^x \exp(- \frac{u^2}{4tD})\, du = T_0 \,{\rm erf}(\frac{x}{2\sqrt{Dt}})$

où erf est dite fonction d'erreur de Gauss.

Le gradient de température à la surface est :

$\frac{\partial T}{\partial x}= \frac{T_0}{\sqrt{\pi t D}}$

Connaissant $\frac{\partial T}{\partial x}$ de l'ordre de 3°C pour 100 mètres de profondeur et D estimé à $10^{-6} \,m^2s^{-1}$ , on trouve que t vaut 100 millions d'années. Ce résultat est largement sous-estimé car Kelvin ignorait les phénomènes de convection au sein du manteau terrestre^[7] ^[8].

Cas d'un domaine limité par deux plans parallèles

Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine limité 0 < x < L. Les deux frontières du domaine sont maintenues à température constante. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point

Considérons un domaine limité par les deux plans x=0 et x=L. Supposons qu'on se donne comme conditions aux limites T(0,t) = T(0,L) = 0. On utilise une méthode de résolution basée sur les séries de Fourier, en cherchant T sous la forme :

$T = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(n\pi \frac{x}{L}) \exp(- \frac{Dn^2\pi^2t}{L^2})$

Cette expression vérifie à la fois l'équation de la chaleur et les conditions aux limites. Si on se donne la répartition de température initiale $T 0$ , il suffit de développer celle-ci en série de Fourier pour déterminer les $b n$ .

Par exemple, si on prend $T 0$ constant, on obtient :

$T = \frac{4T_0}{\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} \sin(\frac{(2n+1)\pi x}{L}) \exp(- \frac{D(2n+1)\pi^2t}{L^2})$

En faisant tendre L vers l'infini, on retrouve la solution de Kelvin du paragraphe précédent, la somme précédente étant considérée comme une somme de Riemann convergeant vers l'intégrale.

Cas d'un domaine à géométrie sphérique

Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine circulaire. Problème de Kelvin : la température initiale est uniforme, la température sur le cercle frontière est maintenue nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point

Dans le cas où la propagation se fait dans un domaine sphérique, et où la température ne dépend que de la distance r au centre, l'équation de la chaleur devient, compte tenu de l'expression du laplacien en sphérique :

$\frac{\partial T}{\partial t} = D(\frac{2}{r} \frac{\partial T}{\partial r} + \frac{\partial^2 T}{\partial r^2})$

Si on pose $F = r T$ , l'équation devient :

$\frac{\partial F}{\partial t} = D \frac{\partial^2 F}{\partial r^2}$

On peut alors appliquer les méthodes précédentes pour déterminer F, puis en déduire T en divisant par r.

Ainsi, la résolution du problème de Kelvin dans le cas d'une boule de rayon R (température initiale uniformément égale à $T 0$ , la surface étant maintenue à une température nulle) conduit à l'expression suivante de T :

$T(r,t) = 2T_0 \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \, {\rm sinc}(n\pi \frac{r}{t}) \exp(- \frac{Dn^2\pi^2t}{R^2})$

où sinc est la fonction sinus cardinal.

Cas de domaines limités, avec source de chaleur

On considère l'équation :

$\frac{\partial T}{\partial t} - D \Delta T = P$

avec P non nul. On cherche en général une solution particulière à cette équation, de façon à ce que, une fois retranchée à T, on puisse se ramener à une équation sans second membre. Voici quelques exemples, dans le cas où P représente une densité de source de chaleur constante, indépendante de la position et du temps.

Domaine limité par deux plans parallèles

Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine limité 0 < x < L. Le domaine est chauffé uniformément, alors que la température initiale est nulle, et que les deux bords restent à cette température nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point

Considérons un domaine limité par les deux plans x=0 et x=L. On suppose qu'à l'instant initial, la température du domaine est égale à une température de référence nulle, et que les bords du domaine resteront en permanence à cette température nulle. T vérifie donc :

$\frac{\partial T}{\partial t} - D \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = P$

T(0,t) = T(L,t) = 0 pour tout t positif.

T(x,0) = 0 pour tout x entre 0 et L.

La fonction $\frac{Px(L-x)}{2D}$ indépendante de t vérifie les deux premières relations, de sorte que, si on pose $G = T - \frac{Px(L-x)}{2D}$ , alors G vérifie :

$\frac{\partial G}{\partial t} - D \frac{\partial^2 G}{\partial x^2} = 0$

G (0, t) = G (L, t) = 0

$G(x, 0) = - \frac{Px(L-x)}{2D}$

On peut appliquer la méthode vue plus haut en cherchant G sous la forme d'une série :

$G = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(\frac{n\pi x}{L}) \exp(- \frac{n^2\pi^2Dt}{L^2})$

qui vérifie les deux premières relations. Comme, pour des raisons de symétrie, on s'attend à ce que $G (x) = G (L - x)$ , on peut supposer que les coefficients $b n$ sont nuls lorsque n est pair, de sorte que :

$G = \sum_{n=0}^\infty b_{2n+1} \sin(\frac{(2n+1)\pi x}{L}) \exp(- \frac{(2n+1)^2\pi^2Dt}{L^2})$

Pour t = 0, on a :

$- \frac{Px(L-x)}{2D} = \sum_{n=0}^\infty b_{2n+1} \sin(\frac{(2n+1)\pi x}{L})$

On trouve les $b 2 n + 1$ en développant $- \frac{Px(L-x)}{2D}$ en série de Fourier. On trouve :

$b_{2n+1} = - \frac{4PL^2}{(2n+1)^3\pi^3D}$

D'où G, puis finalement :

$T = \frac{Px(L-x)}{2D} - \frac{4PL^2}{D\pi^3} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^3} \sin(\frac{(2n+1)\pi x}{L}) \exp(- \frac{(2n+1)^2\pi^2Dt}{L^2})$

Lorsque t tend vers l'infini, la température du domaine tend vers $\frac{Px(L-x)}{2D}$ , l'échauffement thermique dans le milieu étant alors en équilibre avec l'évacuation de la chaleur par les deux bords.

Domaine limité par un plan

Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine x > 0 limité par un bord. Le domaine est chauffé uniformément, alors que la température initiale est nulle, et que le bord reste à cette température nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point

La résolution du même problème dans le cas où x>0 consiste à déterminer T tel que :

$\frac{\partial T}{\partial t} - D \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = P$

T(0,t) = 0 pour tout t positif.

T(x,0) = 0 pour tout x > 0.

On peut obtenir la solution en faisant tendre L vers l'infini dans l'expression donnée dans le paragraphe précédent, en assimilant la série à une somme de Riemann. On obtient alors l'expression suivante :

$T = - \frac{Px^2}{2D} + \frac{Px^2}{2D} \,{\rm erf}(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}) + \frac{Px\sqrt{t}}{\sqrt{D\pi}} \exp(- \frac{x^2}{4Dt}) + Pt \, {\rm erf}(\frac{x}{2\sqrt{Dt}})$

erf est la fonction dite fonction d'erreur de Gauss. On peut également trouver cette expression en appliquant la méthode découlant du principe général relatif à un domaine illimité, après avoir étendu à l'espace entier les fonctions T et P en des fonctions impaires en x, de façon à ce que T s'annule en x = 0.

Quand t tend vers l'infini, T vaut environ Pt, analogue à celle d'un domaine infini. Le bord unique n'est pas suffisant pour évacuer la chaleur.

Domaine à géométrie sphérique

Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine à bord circulaire. Le domaine est chauffé uniformément, alors que la température initiale est nulle, et que le bord reste à cette température nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point

Dans le cas d'un domaine dont le bord est une sphère de rayon R, on utilise l'expression du laplacien en sphérique et on est amené à résoudre :

$\frac{\partial T}{\partial t} = D\left(\frac{2}{r} \frac{\partial T}{\partial r} + \frac{\partial^2 T}{\partial r^2}\right) + P$

Pour tout t, T(R,t) = 0

Pour tout r, T(r,0) = 0

En posant $G = rT + \frac{r^3P - rR^2P}{6D}$ , G vérifie le système :

$\frac{\partial G}{\partial t} = D\frac{\partial^2 G}{\partial r^2}$

Pour tout t, G(R,t) = 0

Pour tout r, $G(r,0) = \frac{r^3P - rR^2P}{6D}$

La méthode des séries de Fourier suggère de chercher G sous la forme d'une série $\sum_{n=1}^\infty b_n \sin(\frac{n\pi r}{R}) \exp(- \frac{n^2\pi^2 Dt}{R^2})$ , où les $b n$ sont trouvés en développant $\frac{r^3P - rR^2P}{6D}$ en série de Fourier. On obtient :

$G = \frac{2P R^3}{D\pi^3} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^3} \sin(\frac{n\pi r}{R}) \exp(- \frac{n^2\pi^2 Dt}{R^2})$

et donc :

$T = \frac{R^2P - r^2P}{6D} + \frac{2P R^2}{D\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} {\rm sinc}(\frac{n\pi r}{R}) \exp(- \frac{n^2\pi^2 Dt}{R^2})$

où sinc est la fonction sinus cardinal.

Quand t tend vers l'infini, la température T tend vers la répartition limite $\frac{R^2P - r^2P}{6D}$ .

Notes et références

Sources

J.Ph. Pérez et A.M. Romulus. Thermodynamique. Fondements et applications, Masson, Paris, 1993.

Notes

↑ Pérez, page 153.
↑ ^a ^b Pérez, page 158
↑ Pérez, page 160.
↑ Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur, 1822 [détail des éditions]
↑ L. Landau, E. Lifchitz, Physique théorique, mécanique des fluides, Mir-Ellipses, (1994)
↑ Laurent Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Hermann, (1965)
↑ England P, Molnar P, Richter F, Kelvin, Perry et l'âge de la terre, Pour la Science, février 2008, p.32-37, traduit d'un article d'American Scientist
↑ Jean-Louis Le Mouël, Le refroidissement de la Terre, 196ème conférence de l’Université de tous les savoirs, 14 juillet 2000, [1] ou [2]

La Wikiversité possède des cours sur « Conduction thermique ».

Voir aussi

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